História: O Hex foi inventado duas vezes. A primeira, pelo cientista e poeta dina- marquês Piet Hein, em 1942, a segunda, pelo matemático americano John Nash, em 1948. Contudo, foi Martin Gardner, nas páginas do Scientific American, que o popularizou nos anos 50 [5]. Hoje o Hex está a tornar-se cada vez mais popular, sendo muito estudado, já lhe foi dedicado um livro, por Cameron Browne, que mais tarde escreveu outro sobre jogos da mesma família [2, 3].

Material: O Hex é um jogo de conexão, habitualmente jogado num tabuleiro como este:

Com 60 peças brancas e 60 peças negras.

Definições

Adjacência — duas peças dizem-se adjacentes se os hexágonos que ocupam partilham uma aresta.

Grupo — um conjunto de peças adjacentes da mesma cor.

Regras

Há dois jogadores, Branco e Negro, que alternam colorindo um hexágono do tabuleiro ou colocando uma peça da sua cor numa célula hexagonal.

Vale a regra do equilíbrio, i.e., na sua primeira jogada, o segundo jogador pode escolher entre trocar de cores (mantendo a primeira jogada do adversário) ou jogar normalmente.

Objectivo

As Brancas tentam construir um grupo entre as margens SO e NE, as Negras ligam SE a NO.

Um grupo que daria a vitória às Negras:

Notas

O jogo equivalente de Nash joga-se nas intersecções de um tabuleiro como este:

Um jogador liga N-S, colocando peças da sua cor nas intersecções, o outro tenta a ligação E-O.

O primeiro facto notável sobre este jogo é que ele não permite empates.

Suponha que o tabuleiro está completamente preenchido com peças de duas cores, aleatoriamente. Interpretemos as peças brancas como representando água e as negras como terra firme. Então, das duas uma: ou a água flui entre as margens SO e NE, ou há um dique a unir as margens SE e NO. Neste último caso ganharam as Negras, no primeiro as Brancas. A ausência de empates torna o Hex um jogo mais interessante ainda de jogar.

O argumento acima é intuitivo, claro, mas a prova rigorosa não é difícil.

Como nenhum jogo de Hex pode terminar empatado, o jogo deve poder ser ganho sempre pelo primeiro ou sempre pelo segundo jogador, se ambos jogarem perfeitamente. Suponha que é o segundo jogador que dispõe de uma estratégia vencedora. Então, o primeiro, na sua primeira jogada, pode jogar aleatoriamente e passar a encarar-se como sendo o segundo. Como um lance a mais, num jogo de conexão, nunca pode penalizar, o primeiro jogador vai ganhar, usando a estratégia vencedora do segundo. Obtivémos uma contradição. A conclusão é então que é o primeiro jogador que tem uma estratégia vencedora.

Este argumento foi utilizado por John Nash e ficou conhecido por argumento do roubo da estratégia. Prova a existência de uma estratégia ganhante, mas não a exibe. Conhecem-se explicitamente estratégias vencedoras para o primeiro jogador para tabuleiros pequenos (até 7×7). Para a dimensão habitual, 11×11, permanece desconhecida. Contudo, abrir com um lance na diagonal menor é muito forte, desiquilibrando o jogo. É esta vantagem do primeiro que justifica a regra do equilíbrio. Desta forma o primeiro jogador tentará não jogar muito forte no seu primeiro lance.

Como o Hex é um jogo de conexão, importa saber como estender um grupo. Jogar numa casa contígua parece demasiado lento.

Aqui as peças em l7 e m7 estão demasiado perto uma da outra, pouco ajudando na ligação das margens.

Por outro lado, um salto demasiado longo permite a intromissão do adversário:

Neste caso, as peças l7 e p7 podem ser separadas se as Brancas jogarem n7.

Um exemplo de uma boa ligação, que não é demasiado ambiciosa, é a ponte, que consiste em duas peças que partilham duas casas vizinhas:

Aqui, se as Brancas tentam cortar, jogando l6, as Negras replicam em m7, e se as Brancas jogam m7, as Negras respondem l6. As duas peças estão virtualmente ligadas uma com a outra.

Os movimentos defensivos também merecem reflexão. Por exemplo, ao tentar bloquear um grupo adversário não devemos jogar muito próximo dele, porque isso permite extensões imediatas:

A tentativa de bloqueio k6 obtém a resposta l7. Até à distância de uma ponte o bloqueio fraqueja:

Se as Brancas jogam j5, as Negras respondem com k7. As boas jogadas estão muitas vezes à distância:

David Gale [4] descobriu uma ligação surpreendente do resultado, visto acima, da ausência de empates no Hex, com um teorema da matemática avançada. Ele provou que ele é equivalente ao teorema do ponto fixo de Brower, que é um resultado sofisticado em matemática, afirmando que, sob certas hipóteses, uma função f tem um ponto fixo (i.e., existe um x tal que f(x) = x). Pode ler sobre isto também em [1].

Referências:

1. Binmore, K., Fun and Games, D. C. Heath and Co., 1992.
2. Browne, C., Hex Strategy: Making the Right Connections, A. K. Peters, 2000.
3. Browne, C., Connection games, A. K. Peters, 2004.
4. Gale, David, W., “The game of Hex and the Brower fixed-point theorem”, American Math. Monthly, Vol. 86, 1979, pp. 818–827.
5. Gardner, M., “The Game of Hex”, in The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Simon and Shuster, New York, 1959, pp. 73–83.

Informações adiconais:

• Análise de um problema de Hex
• Hex: aspectos técnicos do 2º CNJM