{"id":2281,"date":"2024-01-05T19:15:23","date_gmt":"2024-01-05T19:15:23","guid":{"rendered":"https:\/\/ludicumnew.org\/?page_id=2281"},"modified":"2024-06-18T09:25:01","modified_gmt":"2024-06-18T09:25:01","slug":"jogos-abstratos-hex","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/ludicum.org\/en\/jogos\/jogos-abstratos-hex\/","title":{"rendered":"Jogos abstratos: Hex"},"content":{"rendered":"

[et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”4.25.2″ _module_preset=”default” width=”100%” max_width=”100%” custom_margin=”0px|0px|0px|0px|false|false” custom_padding=”0px|0px|0px|0px|false|false” hover_enabled=”0″ border_color_all=”#FFFFFF” border_width_top=”7px” border_color_top=”#2167a6″ global_colors_info=”{}” sticky_enabled=”0″ locked=”off”][et_pb_row column_structure=”3_4,1_4″ use_custom_gutter=”on” gutter_width=”1″ make_equal=”on” _builder_version=”4.25.2″ _module_preset=”default” background_color=”#FFFFFF” width=”100%” max_width=”100%” custom_margin=”0px|0px|0px|0px|false|false” custom_padding=”0px|0px|0px|0px|false|false” hover_enabled=”0″ global_colors_info=”{}” sticky_enabled=”0″][et_pb_column type=”3_4″ _builder_version=”4.25.1″ _module_preset=”default” custom_padding=”40px|40px|40px|40px|false|false” global_colors_info=”{}”][et_pb_heading title=”Hex” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” title_level=”h3″ title_font_size=”25px” global_colors_info=”{}” title_text_color=”#2167a6″][\/et_pb_heading][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Hist\u00f3ria:<\/strong> O Hex foi inventado duas vezes. A primeira, pelo cientista e poeta dina- marqu\u00eas Piet Hein, em 1942, a segunda, pelo matem\u00e1tico americano John Nash, em 1948. Contudo, foi Martin Gardner, nas p\u00e1ginas do\u00a0Scienti\ufb01c American<\/i>, que o popularizou nos anos 50 [5]. Hoje o Hex est\u00e1 a tornar-se cada vez mais popular, sendo muito estudado, j\u00e1 lhe foi dedicado um livro, por Cameron Browne, que mais tarde escreveu outro sobre jogos da mesma fam\u00edlia [2, 3].<\/span><\/p>\n

Material: <\/strong>O Hex \u00e9 um jogo de conex\u00e3o, habitualmente jogado num tabuleiro como este:<\/span><\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-tabuleiro.png” title_text=”hex-tabuleiro” align=”center” _builder_version=”4.25.2″ _module_preset=”default” hover_enabled=”0″ global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false” sticky_enabled=”0″][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Com 60 pe\u00e7as brancas e 60 pe\u00e7as negras.<\/p>\n

Defini\u00e7\u00f5es<\/strong><\/p>\n

Adjac\u00eancia \u2014 duas pe\u00e7as dizem-se adjacentes se os hex\u00e1gonos que ocupam partilham uma aresta.<\/p>\n

Grupo \u2014 um conjunto de pe\u00e7as adjacentes da mesma cor.<\/p>\n

Regras<\/strong><\/p>\n

H\u00e1 dois jogadores, Branco e Negro, que alternam colorindo um hex\u00e1gono do tabuleiro ou colocando uma pe\u00e7a da sua cor numa c\u00e9lula hexagonal.<\/p>\n

Vale a\u00a0<\/span>regra do equil\u00edbrio<\/i>, i.e., na sua primeira jogada, o segundo jogador pode escolher entre trocar de cores (mantendo a primeira jogada do advers\u00e1rio) ou jogar normalmente.<\/p>\n

Objectivo<\/strong><\/p>\n

As Brancas tentam construir um grupo entre as margens SO e NE, as Negras ligam SE a NO.<\/p>\n

Um grupo que daria a vit\u00f3ria \u00e0s Negras:<\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-grupo-vitoria.png” title_text=”hex-grupo-vitoria” align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Notas<\/strong><\/p>\n

O jogo equivalente de Nash joga-se nas intersec\u00e7\u00f5es de um tabuleiro como este:<\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-nash-tabuleiro.png” title_text=”hex-nash-tabuleiro” align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Um jogador liga N-S, colocando pe\u00e7as da sua cor nas intersec\u00e7\u00f5es, o outro tenta a liga\u00e7\u00e3o E-O.<\/p>\n

O primeiro facto not\u00e1vel sobre este jogo \u00e9 que ele n\u00e3o permite empates.<\/p>\n

Suponha que o tabuleiro est\u00e1 completamente preenchido com pe\u00e7as de duas cores, aleatoriamente. Interpretemos as pe\u00e7as brancas como representando \u00e1gua e as negras como terra \ufb01rme. Ent\u00e3o, das duas uma: ou a \u00e1gua \ufb02ui entre as margens SO e NE, ou h\u00e1 um dique a unir as margens SE e NO. Neste \u00faltimo caso ganharam as Negras, no primeiro as Brancas. A aus\u00eancia de empates torna o Hex um jogo mais interessante ainda de jogar.<\/p>\n

O argumento acima \u00e9 intuitivo, claro, mas a prova rigorosa n\u00e3o \u00e9 dif\u00edcil.<\/p>\n

Como nenhum jogo de Hex pode terminar empatado, o jogo deve poder ser ganho sempre pelo primeiro ou sempre pelo segundo jogador, se ambos jogarem perfeitamente. Suponha que \u00e9 o segundo jogador que disp\u00f5e de uma estrat\u00e9gia vencedora. Ent\u00e3o, o primeiro, na sua primeira jogada, pode jogar aleatoriamente e passar a encarar-se como sendo o segundo. Como um lance a mais, num jogo de conex\u00e3o, nunca pode penalizar, o primeiro jogador vai ganhar, usando a estrat\u00e9gia vencedora do segundo. Obtiv\u00e9mos uma contradi\u00e7\u00e3o. A conclus\u00e3o \u00e9 ent\u00e3o que \u00e9 o primeiro jogador que tem uma estrat\u00e9gia vencedora.<\/p>\n

Este argumento foi utilizado por John Nash e \ufb01cou conhecido por\u00a0<\/span>argumento do roubo da estrat\u00e9gia<\/i>. Prova a exist\u00eancia de uma estrat\u00e9gia ganhante, mas n\u00e3o a exibe. Conhecem-se explicitamente estrat\u00e9gias vencedoras para o primeiro jogador para tabuleiros pequenos (at\u00e9 7\u00d77). Para a dimens\u00e3o habitual, 11\u00d711, permanece desconhecida. Contudo, abrir com um lance na diagonal menor \u00e9 muito forte, desiquilibrando o jogo. \u00c9 esta vantagem do primeiro que justi\ufb01ca a\u00a0<\/span>regra do equil\u00edbrio<\/i>. Desta forma o primeiro jogador tentar\u00e1 n\u00e3o jogar muito forte no seu primeiro lance.<\/p>\n

Como o Hex \u00e9 um jogo de conex\u00e3o, importa saber como estender um grupo. Jogar numa casa cont\u00edgua parece demasiado lento.<\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-jogar-contigua.png” title_text=”hex-jogar-contigua” align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Aqui as pe\u00e7as em l7 e m7 est\u00e3o demasiado perto uma da outra, pouco ajudando na liga\u00e7\u00e3o das margens.<\/p>\n

Por outro lado, um salto demasiado longo permite a intromiss\u00e3o do advers\u00e1rio:<\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-jogar-saltolongo.png” title_text=”hex-jogar-saltolongo” align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Neste caso, as pe\u00e7as l7 e p7 podem ser separadas se as Brancas jogarem n7.<\/p>\n

Um exemplo de uma boa liga\u00e7\u00e3o, que n\u00e3o \u00e9 demasiado ambiciosa, \u00e9 a\u00a0<\/span>ponte<\/i>, que consiste em duas pe\u00e7as que partilham duas casas vizinhas:<\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-jogar-ponte.png” title_text=”hex-jogar-ponte” align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Aqui, se as Brancas tentam cortar, jogando l6, as Negras replicam em m7, e se as Brancas jogam m7, as Negras respondem l6. As duas pe\u00e7as est\u00e3o virtualmente ligadas uma com a outra.<\/p>\n

Os movimentos defensivos tamb\u00e9m merecem re\ufb02ex\u00e3o. Por exemplo, ao tentar bloquear um grupo advers\u00e1rio n\u00e3o devemos jogar muito pr\u00f3ximo dele, porque isso permite extens\u00f5es imediatas:<\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-jogar-defensivo1.png” title_text=”hex-jogar-defensivo1″ align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

A tentativa de bloqueio k6 obt\u00e9m a resposta l7. At\u00e9 \u00e0 dist\u00e2ncia de uma ponte o bloqueio fraqueja:<\/span><\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-jogar-defensivo2.png” title_text=”hex-jogar-defensivo2″ align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

Se as Brancas jogam j5, as Negras respondem com k7. As boas jogadas est\u00e3o muitas vezes \u00e0 dist\u00e2ncia:<\/p>\n

[\/et_pb_text][et_pb_image src=”https:\/\/ludicum.org\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/hex-jogar-defensivo3.png” title_text=”hex-jogar-defensivo3″ align=”center” _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” global_colors_info=”{}” custom_margin=”20px||20px||false|false”][\/et_pb_image][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

David Gale [4] descobriu uma liga\u00e7\u00e3o surpreendente do resultado, visto acima, da aus\u00eancia de empates no Hex, com um teorema da matem\u00e1tica avan\u00e7ada. Ele provou que ele \u00e9 equivalente ao teorema do ponto \ufb01xo de Brower, que \u00e9 um resultado so\ufb01sticado em matem\u00e1tica, a\ufb01rmando que, sob certas hip\u00f3teses, uma fun\u00e7\u00e3o\u00a0<\/span>f<\/i>\u00a0<\/span>tem um ponto \ufb01xo (i.e., existe um\u00a0<\/span>x<\/i>\u00a0<\/span>tal que\u00a0<\/span>f<\/i>(x<\/i>) =\u00a0<\/span>x<\/i>). Pode ler sobre isto tamb\u00e9m em [1].<\/p>\n

Refer\u00eancias:<\/strong><\/p>\n

    \n
  1. Binmore, K.,\u00a0<\/span>Fun and Games<\/i>, D. C. Heath and Co., 1992.<\/li>\n
  2. Browne, C.,\u00a0<\/span>Hex Strategy: Making the Right Connections<\/i>, A. K. Peters, 2000.<\/li>\n
  3. Browne, C.,\u00a0<\/span>Connection games<\/i>, A. K. Peters, 2004.<\/li>\n
  4. Gale, David, W., \u201cThe game of Hex and the Brower \ufb01xed-point theorem\u201d,\u00a0<\/span>American Math. Monthly<\/i>, Vol. 86, 1979, pp. 818\u2013827.<\/li>\n
  5. Gardner, M., \u201cThe Game of Hex\u201d, in\u00a0<\/span>The Scienti\ufb01c American Book of Mathematical Puzzles and Diversions<\/i>, Simon and Shuster, New York, 1959, pp. 73\u201383.<\/li>\n<\/ol>\n

    [\/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.23.4″ _module_preset=”default” text_orientation=”justified” global_colors_info=”{}”]<\/p>\n

    Informa\u00e7\u00f5es adiconais:<\/strong><\/p>\n